Geometría Fractal

Geometría Fractal: Sirve para estudiar las formas como la de un copo de nieve, en las que se aprecian irregularidades, el fenómeno de la autosemejanza, es decir, un parecido de las partes con el todo. La más conocida en la curva de Koch, construida a partir de un segmento rectilíneo, procediendo así: 

   - Se divide el segmento en tres partes iguales.

   - Se sustituye la parte central por un triángulo equilátero sin la base.

   - Se repite el proceso con uno de los cuatro segmentos obtenidos. 

El triángulo de Waclaw Sierpinski, parte de un triángulo en el que se siga el siguiente proceso infinito:

   - Se divide el triángulo en cuatro partes iguales.

   - Se elimina el triángulo del medio. 

Teoria del caos

Teoría del caos: permite describir el comportamiento de fenómenos complejos, es decir, de sistemas que tienen un comportamiento caótico. Es la denominación popular de la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias que trata ciertos tipos de sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales, pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro; complicando la predicción a largo plazo. Esto sucede aunque estos sistemas son deterministas, es decir; su comportamiento está completamente determinado por sus condiciones iniciales. Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.

El efecto mariposa

El efecto mariposa, muestra la hipersensibilidad de unos sistemas que frente a pequeños cambios en las condiciones iniciales originan resultados distintos.

Es un concepto que hace referencia a la noción de sensibilidad a las condiciones iniciales dentro del marco de la teoría del caos. 

En el efecto mariposa se da el caos absoluto que solo puede realizarse su estudio en probabilidad, como por ejemplo cuando tiras una moneda al aire que hay muchos procesos intermedios que su estado final parece olvidar el momento inicial. 
También se da el caos determinista, que esta mas cerca del azar, es decir, que los procesos caóticos no son predecibles. 
el efecto mariposa se llama así porque el aleteo de una mariposa puede provocar un tiempo después, una tormeta que no habría existido en otro caso.

Un ejemplo claro sobre el efecto mariposa es soltar una pelota justo sobre la arista del tejado de una casa varias veces; pequeñas desviaciones en la posición inicial pueden hacer que la pelota caiga por uno de los lados del tejado o por el otro, conduciendo a trayectorias de caída y posiciones de reposo final completamente diferentes. Cambios minúsculos que conducen a resultados totalmente diferentes.

Fenómenos caóticos

Un fenómeno es caótico cuando su comportamiento parece irregular o impredecible, mientras que un fenómeno no caótico es previsible. Se le llama fenómeno caótico, a un fenómeno real que tiene un comportamiento aleatorio, y esta regido por leyes precisas.
La rutina se transforma en una forma de vida y al mismo tiempo de muerte. Ese círculo en el cual el tiempo se pierde y al final cuando uno menos se lo espera, la piel se envejece, el cabello se torna blanco y a un paso esta el sepulcro. Esa rutina que es alimentada por los amigos, por la pareja, por el miedo a sentirse solo. Por tal motivo nos rodeamos de lo que sea, de un aparato electrónico, de una botella de cerveza, escondiéndonos entre libros y entre tantas otras cosas. En antaño se decía que el universo guardaba un perfecto equilibrio, entonces se formuló la idea de que todo tenía que llevar un orden, una estructura y que todo aquello que se saliera de ese orden sería castigado o aborrecido. Esta idea perduro y sus raíces abarcaron a todos los seres humanos. La vida entonces se convirtió en rutina. Creo que en el ser humano también son útiles los fenómenos caóticos para su desarrollo, para alcanzar niveles de conciencia elevados y crear verdaderos pensadores y ya nos más mentes encarceladas en paradigmas realmente antiguos.

Tema 18

1. Fenómenos caóticos en la naturaleza: Un fenómeno es caótico cuando es impredecible, mientras que un fenómeno no caótico se puede predecir mediante unas condiciones previas. Por ello, se le llama fenómeno caótico a todos los fenómenos reales que ocurren por puro azar.

                                                                        Inundación.
                                   
 En 1963 el meteorólogo Edward N.Lorenz hizo un estudio matemático de los fenómenos naturales, lo que significo una hecho clave. Este modelo se utiliza para medir las corientes atmosféricas, el flujo de la sangre eln las arterias etc...

                                                                     Edward.N.Lorenz

2. Fenómenos lineales y no lineales: Los fenómenos lineales se pueden representar matemáticamente mediante una función o ecuación dónde X e Y se encuentran elevadas solamente a la primera potencia.
Un fenómeno no lineal se pùede representar mediante una expresión matemática en la que intervienen potencias diferentes entre X e Y.

3. El efecto mariposa: Es la alteración total de una predicción lógica en un sistema caótico, a causa de una mínima variación en las condiciones iniciales. Dentro de este concepto está el caos absoluto, que no obedece a ninguna ley. Lo que predomina es el caos determinista, que no es predecible por completo.

4. Teoría del caos: Permite describir los sistemas que tienen un comportamiento caótico.

*Aplicaciones de la teoría del caos: Se aplica en meteorología y climatología, la evolución del Universo, la etología, en diversos temas sanitarios, en el estudio de economía, etc...

5. Geometría fractal: Se utiliza para estudiar las formas naturales, como la de un árbol o un copo de nieve. La más conocida de las figuras es la curva de Koch, y el trángulo del matemático Waclaw Sierpinski.

6. Fractales: Se refiere a la representación de un objeto geométrico irregular, que se puede dividir en partes de aspecto similar, pero que contiene elementos distintivos. 

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito por geometría fractal, por ejemplo se pueden representar nubes, montañas, y otras estructuras aparentemente caóticas.

7. Dimensión fractal: Sirve para medir el grado de fragmentación, discontinuidad o rugosidad de un objeto fractal.

Existen programas de ordenador, como Fractint, que nos sirve para ello.

Por ejemplo un objeto fractal sería las líneas irregulares que forman una costa, el recorrido irregular de un río..etc 

                                                                                                                    

                                                                                                                                    Costa Australia.